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例题

求$\\lim_{ n \to \infty }\left(\sqrt{ \frac{\pi n}{2} }-\sum _{k=0}^\infty \frac{n!}{(n-k)!n^k}\right)$

利用Gamma函数的性质

$k!=\int _{0}^\infty x^ke^{-x}dx$

利用二项式定理

$\sum _{k=0}^ \infty \frac{n!}{(n-k)!n^k}=\sum _{k=0}^n\frac{C_{n}^k}{n^k}\int _{0}^\infty x^ke^{-x}dx=\int _{0}^\infty (1+\frac{x}{n})^ne^{-x}dx$

这里因为求和是有限的，所以可以直接换序.

作换元$x\rightarrow nx$，得到

$n\int _{0}^\infty [(1+x)e^{-x}]^ndx$

为了研究积分的渐近行为，把底数放到指数上

$[(1+x)e^{-x}]^n=e^{n\ln [(1+x)e^{-x}]}$

Laplace方法专门用于处理形如$\int e^{-nf(y)}dy$的积分，故引入$y$：

$-y=\ln[(1+x)e^{-x}]=\ln(1+x)-x\Rightarrow y=x-\ln (1+x)$

计算微分

$dy=\frac{x}{1+x}dx$

从而原积分化为

$n\int_{0}^\infty e^{-ny}(1+\frac{1}{x})dy$

因为$e^{-ny}$衰减得很快，积分的值由$y\rightarrow 0^+$影响很大，故考虑$1+\frac{1}{x}$的行为.

对于

$y=x-\ln (1+x)$

要反解出$x(y)$，可以利用Lagrange反演定理.

Lagrange反演

设

$w=f(z)=w_{0}+a_{k}(z-z_{0})^k+a_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots ,a_{k}\neq 0,k\in \mathbb N$

则

$z=z_{0}+\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{n!}\left[ \frac{d^{n-1}}{d\zeta ^{n-1}}\left( \frac{\zeta -z_{0}}{(f(\zeta )-w_{0})^\frac{1}{k}}\right) \right]_{\zeta =z_{0}}(w-w_{0})^\frac{n}{k}$

这里给出的并不是严格叙述的版本.

在定理中取$k=2$，有

从而

进而Laplace方法可得

所以

$\lim_{ n \to \infty }\left(\sqrt{ \frac{\pi n}{2} }-\sum _{k=0}^\infty \frac{n!}{(n-k)!n^k}\right)=-\frac{2}{3}$